内容包括多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数和微分方 程。附录中增加了作为知识与能力拓展指导的应用数学软件 Ma t hema t i c a的介绍和空间 解析几何的扩充内容。本教材主要针对应用型本科作为基础课的高等数学(下)而编写,也 可作为专科学生高等数学课程的教材或教学参考教材。教材注重强化基本概念、基本理 论、基本计算;注重利用计算机解决数学问题;注重应用数学知识解决实际问题能力的培 养;注重数学思想方法和数学思维的训练;注重自学能力的培养与提高。教材编写经过一 体化设计,以CDIO教学理念为指导,以CDIO教学模式和教学方法为指引,注重能力培 养,强调以项目为导向,强化“做中学”的理念。
第6章 多元函数微分学 1
6. 1 向量及其线性运算 2
6. 1. 1 空间直角坐标系 3
6. 1. 2* 向量及其线性运算 5
6. 1. 3* 利用坐标作向量的线性运算 7
6. 1. 4* 向量的模、方向角、投影 9
6. 2* 数量积 向量积 14
6. 2. 1 两向量的数量积 15
6. 2. 2 两向量的向量积 16
6. 3 曲面及其方程 20
6. 3. 1 曲面方程的概念 20
6. 3. 2 旋转曲面 22
6. 3. 3 柱面 23
6. 3. 4 二次曲面 24
6. 4 空间曲线及其方程 29
6. 4. 1 空间曲线的一般方程 29
6. 4. 2 空间曲线的参数方程 30
6. 4. 3 空间直线的一般方程 31
6. 5 多元函数的基本概念 34
6. 5. 1 平面区域 34
6. 5. 2 n 维空间 36
6. 5. 3 多元函数的概念 36
6. 5. 4 二元函数的极限 38
6. 5. 5 二元函数的连续性 40
6. 6 偏导数 43
6. 6. 1 偏导数的概念 44
6. 6. 2 偏导数的计算 45
6. 6. 3 偏导数的几何意义 47
6. 6. 4 偏导数存在与连续的关系 48
6. 6. 5 高阶偏导数 48
6. 6. 6* 偏导数在经济分析中的应用 50
6. 7 全微分 54
6. 7. 1 全微分的概念 54
6. 7. 2 多元函数可微、偏导数存在与连续的关系 57
6. 7. 3 全微分的几何意义 58
6. 7. 4 全微分在近似计算中的应用 59
6. 8 多元复合函数与隐函数偏导数 61
6. 8. 1 多元复合函数的求导法则 62
6. 8. 2 全微分的形式不变性 65
6. 8. 3 隐函数的求导 66
6. 9* 多元函数微分法在几何上的应用 69
6. 9. 1 空间曲线的切线与法平面 70
6. 9. 2 曲面的切平面与法线 71
6. 10* 方向导数与梯度 74
6. 10. 1 方向导数 74
6. 10. 2 梯度的概念 76
6. 10. 3 等高线的概念 78
6. 11 多元函数的极值 80
6. 11. 1 多元函数的极值 80
6. 11. 2 多元函数的最大值与最小值 83
6. 11. 3* 条件极值与拉格朗日乘数法 86
6. 11. 4* 最小二乘法 89
单元训练 91
第7章 多元函数积分学 96
7. 1 二重积分的概念与性质 96
7. 1. 1 二重积分的概念 98
7. 1. 2 二重积分的性质 99
7. 2 二重积分的计算 102
7. 2. 1 利用直角坐标计算二重积分 102
7. 2. 2 利用极坐标计算二重积分 108
7. 3* 三重积分 114
7. 3. 1 三重积分的概念 114
7. 3. 2 三重积分的计算 115
7. 4* 曲线积分 122
7. 4. 1 对弧长的曲线积分 124
7. 4. 2 对坐标的曲线积分 126
7. 4. 3 两类曲线积分之间的联系 131
7. 5* 格林公式及其应用 133
7. 5. 1 格林公式 134
7. 5. 2 曲线积分与路径无关的条件 136
7. 6* 曲面积分 140
7. 6. 1 对面积的曲面积分 142
7. 6. 2 对坐标的曲面积分 145
7. 6. 3 两类曲面积分之间的联系 147
7. 7* 高斯公式与斯托克斯公式 151
7. 7. 1 高斯公式 151
7. 7. 2 斯托克斯公式 153
单元训练 155
第8章 级 数 158
8. 1 数列的极限 158
8. 1. 1 数列的概念 159
8. 1. 2 数列的极限 160
8. 1. 3 收敛数列的性质 160
8. 1. 4 数列极限的运算法则 161
8. 2 常数项级数 162
8. 2. 1 常数项级数的概念 163
8. 2. 2 收敛级数的基本性质 164
8. 3 常数项级数的审敛法 171
8. 3. 1 正项级数及其审敛法 172
8. 3. 2 交错级数及其审敛法 176
8. 3. 3 绝对收敛与条件收敛 177
8. 4 幂级数 180
8. 4. 1 函数项级数的概念 180
8. 4. 2 幂级数及其收敛性 181
8. 4. 3 幂级数的运算 185
8. 5 函数展成幂级数 188
8. 5. 1 泰勒级数 189
5. 2 泰勒公式 190
8. 5. 3 函数展开成幂级数 191
单元训练 196
第9章 微分方程 199
9. 1 可分离变量微分方程 199
9. 1. 1 微分方程的概念 200
9. 1. 2 可分离变量的微分方程 202
9. 2 齐次方程 207
9. 2. 1 齐次方程的概念 208
9. 2. 2 齐次方程的解法 208
9. 3 一阶线性微分方程 214
9. 3. 1 一阶线性微分方程的概念 215
9. 3. 2 一阶线性微分方程的解法 215
9. 3. 3 可化为一阶线性微分方程求解的微分方程 218
9. 4 可降阶的高阶微分方程 221
9. 4. 1 形如 y ( n )= f ( x )的微分方程 222
9. 4. 2 形如 y″ = f ( x , y′ )的微分方程 223
9. 4. 3 形如 y″ = f ( y , y′ )的微分方程 224
9. 5 二阶常系数线性微分方程 227
9. 5. 1 二阶线性微分方程解的结构 228
9. 5. 2 二阶常系数齐次线性微分方程 229
9. 5. 3 二阶常系数非齐次线性微分方程 231
9. 6* 差分方程 235
9. 6. 1 差分的基本概念 236
9. 6. 2 差分方程 237
单元训练 243
附录A1 知识与能力拓展 246
第一节 多元函数的微分学 246
第二节 第二节 重积分的计算与应用 259
第三节 第三节 无穷级数 269
第四节 第四节 微分方程求解问题 271
第五节 附录 A2 直线与平面 274
第六节 第一节 平面及其方程 274
第七节 第二节 空间直线及其方程 278
第八节 附录A3 教学建议 283
第九节 习题答案 286
第十节 参考文献 308
1、以问题驱动基本概念的引入。本教材以“引例”的方式来引导基本概念的学习,使学生不 会感觉到概念来的突然,能直观感觉到每一个数学概念的来源。同时在每一个概念后给出了大 量的例题,以使学生熟悉、强化概念和知识。这正是问题驱动的数学教学,对培养学生数学直观、数学兴趣、数学应用能力等是非常好的方法。
2、强调了高等数学在经济、信息等领域的应用和学生应用数学知识的能力。本教材贯彻了 教给学生数学的应用和走向的基本理念,介绍了大量的数学应用的实例。同时,在每一节都给 学生提供了应用Ma t hema t i c a解决微积分问题的方法,促使学生提高应用微积分的能力。
3、设计了合理的知识训练过程。本教材每一节设计了学习效果评估习题,每一章设计了单 元训练,其中分为知识评估和单元项目。这是一个对知识体系循序渐进、由基本概念,到基本知识再到基本技巧的训练过程，足以使学生得到全面的高等数学知识和能力的训练。
本教材在高等数学的教学中强调了通俗、直观和应用,是数学教学的一个新尝试,必将为高 等数学教学,特别是应用型大学的数学教学提供新的可借鉴的模式和经验。
