高等数学(上册)(修订版)

教材名称：	高等数学(上册)(修订版)
ISBN号：	978-7-89436-222-3	作者：	李连富
字数：	517千字	规格：	16开
印制时间：	2016-08-01	出版日期：	2013-08-01
定价：	42.5 元	样章下载：	样章.pdf
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1.适用对象

本教材是作者在多年教学改革和教学研究的基础上,总结以前主编、参编教材的经验教训,结合大连东软信息学院CDIO 教学改革的探索与实践编写而成的,主要针对应用型本科作为基础课的高等数学(上)而编写,也可作为专科学生高等数学课程或者微积分课程的教材或教学参考书。

2.需要具备的知识和能力基础

学习本课程,要求学生具备高中数学教学大纲所要求的知识和能力基础,记忆基本初等函数的概念,理解基本初等函数的性质,理解实数的性质,能运用实数理论进行基本运算,对中学基础相对薄弱的同学,可提前自学第一章预备知识的内容。

3.预期达到的学习效果

通过本课程的学习,使学生掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本计算,为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础;通过运用变量数学方法解决实际问题的初步训练,具备应用数学知识、数学思想和数学工具解决专业领域相关数学问题的能力。通过学习,培养学生抽象思维、逻辑推理、空间想象等数学思维能力,初步培养学生的数学素养,培养学生具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的创造性思维能力,养成终生学习、自主学习的习惯,受到书面表达和团队协作的基本训练。

4.内容结构

本教材共分五章,包含了一元微积分的基本知识。第1章,预备知识,主要介绍学习一元微积分所要具备的基础知识;第2章,函数、极限与连续,主要介绍函数极限与连续的概念和性质,是其他各章的基础。函数是微积分讨论的主要对象,也是连接实际问题与数学工具的桥梁,极限是研究函数的有效工具;连续是函数的主要性质之一;第3章,一元微分学及其应用,在第2章学习函数变化趋势的量———极限的基础上,学习研究描述函数变化快慢程度的量———导数和描述函数变化大小的量———微分,并利用微分解决一些实际问题;第4章,不定积分,是第3章求导运算的逆运算,同时也是第5章定积分计算的基础;第5章,定积分及其应用,是一元函数积分学的基本问题之一,必须具备前三章的基础才能顺利学习,该章先从分析几何、物理及经济的实际问题入手引进定积分的概念,讨论他的性质、计算方法及其应用。

项目导学……………………………………………………………………………………… 1

第1章预备知识…………………………………………………………………………… 4

1.1 集合、区间与邻域…………………………………………………………………… 4

1.1.1 集合………………………………………………………………………… 4

1.1.2 区间………………………………………………………………………… 5

1.1.3 邻域………………………………………………………………………… 5

1.1.4 几个常用的不等式………………………………………………………… 6

1.2 基本初等函数……………………………………………………………………… 6

1.2.1 幂函数……………………………………………………………………… 6

1.2.2 指数与指数函数…………………………………………………………… 7

1.2.3 对数与对数函数…………………………………………………………… 8

1.2.4 三角函数…………………………………………………………………… 9

1.2.5 反三角函数………………………………………………………………… 14

1.3 极坐标……………………………………………………………………………… 15

1.3.1 极坐标的定义……………………………………………………………… 15

1.3.2 极坐标同笛卡尔坐标的关系……………………………………………… 16

1.3.3 极坐标方程与图形………………………………………………………… 16

第2章函数、极限与连续……………………………………………………………… 20

2.1 函数及其特性……………………………………………………………………… 20

2.1.1 函数的概念………………………………………………………………… 21

2.1.2 函数的表示方法…………………………………………………………… 22

2.1.3 函数的图形………………………………………………………………… 23

2.1.4 函数的几种特性…………………………………………………………… 24

2.1.5 初等函数…………………………………………………………………… 27

2.1.6 函数与数据拟合…………………………………………………………… 28

2.1.7* 几种经济学中的常用函数……………………………………………… 29

2.2 函数的极限………………………………………………………………………… 34

2.2.1 自变量趋于有限值时函数的极限………………………………………… 37

2.2.2 自变量趋于无穷大时函数的极限………………………………………… 38

2.2.3 函数极限的性质…………………………………………………………… 39

2.2.4 无穷小和无穷大…………………………………………………………… 39

2.3 极限运算法则……………………………………………………………………… 45

2.3.1 函数极限的四则运算法则………………………………………………… 47

2.3.2 复合函数的极限法则……………………………………………………… 48

2.4 两个重要极限……………………………………………………………………… 52

2.4.1 利用重要极限lim x→0

sinx

x =1求极限……………………………………… 55

2.4.2 利用重要极限lim x→∞ 1+1 æè

ç öø

÷ x

=e求极限………………………………… 56

2.5 无穷小的比较……………………………………………………………………… 59

2.6 函数的连续性与间断点…………………………………………………………… 62

2.6.1 函数的连续性……………………………………………………………… 63

2.6.2 初等函数的连续性………………………………………………………… 65

2.6.3 函数的间断点……………………………………………………………… 65

2.7 闭区间上连续函数的性质………………………………………………………… 69

2.7.1 最大值最小值定理………………………………………………………… 70

2.7.2 有界性定理………………………………………………………………… 71

2.7.3 零点定理…………………………………………………………………… 71

2.7.4 介值定理…………………………………………………………………… 71

单元训练………………………………………………………………………………… 73

第3章一元微分学及其应用………………………………………………………… 75

3.1 导数—瞬时变化率………………………………………………………………… 76

3.1.1 导数的定义………………………………………………………………… 80

3.1.2 单侧导数…………………………………………………………………… 82

3.1.3 函数可导与连续之间的关系……………………………………………… 82

3.1.4 导数的几何意义…………………………………………………………… 83

3.1.5 导数的实际意义举例……………………………………………………… 84

3.2 导数的基本公式与运算法则……………………………………………………… 88

3.2.1 导数的四则运算法则……………………………………………………… 88

3.2.2 反函数的求导法则………………………………………………………… 90

3.2.3 复合函数的求导法则……………………………………………………… 91

3.2.4 初等函数的求导法则……………………………………………………… 93

3.2.5 变化率问题………………………………………………………………… 94

3.2.6* 边际分析………………………………………………………………… 95

3.3 导数的应用……………………………………………………………………… 100

3.3.1 函数的单调性…………………………………………………………… 101

3.3.2 利用一阶导数求函数极值……………………………………………… 103

3.3.3 利用导数求函数的最大值与最小值…………………………………… 105

3.4 高阶导数及其应用……………………………………………………………… 109

3.4.1 高阶导数………………………………………………………………… 110

3.4.2 利用二阶导数判断曲线的凹凸性……………………………………… 112

3.4.3 利用二阶导数求函数极值……………………………………………… 114

3.4.4* 经济学中的优化问题…………………………………………………… 115

3.5* 函数图形的描绘………………………………………………………………… 121

3.5.1 曲线的渐近线…………………………………………………………… 122

3.5.2 函数作图………………………………………………………………… 124

3.6 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数………………………………………… 126

3.6.1 隐函数的导数…………………………………………………………… 127

3.6.2 对数求导法……………………………………………………………… 128

3.6.3 由参数方程所确定的函数的导数……………………………………… 129

3.7 相关变化率……………………………………………………………………… 131

3.8 函数的微分及其应用…………………………………………………………… 135

3.8.1 微分的定义……………………………………………………………… 136

3.8.2 微分的运算……………………………………………………………… 137

3.8.3 微分在近似计算中的应用……………………………………………… 139

3.9* 微分中值定理…………………………………………………………………… 142

3.9.1 罗尔定理………………………………………………………………… 143

3.9.2 拉格朗日中值定理……………………………………………………… 144

3.9.3 柯西中值定理…………………………………………………………… 147

3.10 洛必达法则……………………………………………………………………… 150

3.10.1 00

型未定式…………………………………………………………… 150

3.10.2 ∞∞

型未定式…………………………………………………………… 152

3.10.3 其它类型未定式(0·∞,∞-∞,00,1∞ 和∞0) ………………… 153

单元训练………………………………………………………………………………… 157

第4章不定积分………………………………………………………………………… 160

4.1 不定积分的概念与性质………………………………………………………… 160

4.1.1 原函数的概念…………………………………………………………… 161

4.1.2 不定积分的概念………………………………………………………… 162

4.1.3 基本积分表……………………………………………………………… 163

4.1.4 不定积分的性质………………………………………………………… 164

4.2 换元积分法……………………………………………………………………… 170

4.2.1 第一类换元积分法(凑微分法) ………………………………………… 171

4.2.2 第二类换元积分法……………………………………………………… 176

4.3 分部积分法……………………………………………………………………… 181

4.4* 有理函数的积分………………………………………………………………… 187

4.4.1 有理分式的不定积分…………………………………………………… 188

4.4.2 三角函数有理式的积分………………………………………………… 191

4.4.3 简单无理函数的积分…………………………………………………… 193

单元训练………………………………………………………………………………… 195

第5章定积分及其应用……………………………………………………………… 198

5.1 定积分的概念…………………………………………………………………… 199

5.1.1 定积分的定义…………………………………………………………… 204

5.1.2 定积分的几何意义……………………………………………………… 206

5.1.3 定积分的性质…………………………………………………………… 207

5.2 微积分学基本公式……………………………………………………………… 214

5.2.1 积分上限函数…………………………………………………………… 215

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式……………………………………………………… 217

5.3 定积分的换元法和分部积分法………………………………………………… 223

5.3.1 定积分的换元积分法…………………………………………………… 224

5.3.2 定积分的分部积分法…………………………………………………… 227

5.4 定积分的应用…………………………………………………………………… 230

5.4.1 微元法…………………………………………………………………… 231

5.4.2 定积分在几何学上的应用……………………………………………… 232

5.4.3 定积分在物理学上的应用……………………………………………… 240

5.4.4 定积分在经济学上的应用……………………………………………… 241

5.5 广义积分………………………………………………………………………… 245

5.5.1 无穷区间上的广义积分………………………………………………… 246

5.5.2 无界函数的广义积分…………………………………………………… 248

单元训练………………………………………………………………………………… 251

附录A1 微积分学简史………………………………………………………………… 255

附录A2 知识与能力拓展指导……………………………………………………… 262

第一节函数与极限问题……………………………………………………………… 262

第二节导数与微分问题……………………………………………………………… 279

第三节导数与微分的应用问题……………………………………………………… 283

第四节积分运算问题………………………………………………………………… 286

附录A3 学习知识要点及能力要点………………………………………………… 292

习题答案…………………………………………………………………………………… 293

参考文献…………………………………………………………………………………… 318

教材编写以CDIO 教学理念为指导,以CDIO 教学模式和教学方法为指引,以能力培养为目标,以项目导向为方法,以“做中学”为手段,上机操作贯穿始终,教学内容体现“五多五少二充分一注重”,即多一点思想方法,少一点死记硬背;多一点归纳引入,少一点演绎证明;多一点事例论证,少一点理论推导;多一点概念强化,少一点计算技巧;多一点项目渗透,少一点特殊题型;充分体现CDIO 改革思想,充分利用计算机解决实际问题;注重自学能力和应用数学知识解决实际问题能力的培养。

本教材从应用型本科学生的实际出发,合理编排教材结构,每一节包括知识目标、能力目标、知识正文、知识和能力拓展及学习效果评估;在精选教学内容的基础上,注意以实际案例引入概念,讲解理论,用理论知识解决实际问题,逐步渗透数学模型思想,尽可能再现知识的归纳形成过程,使抽象问题具体化,复杂问题简单化,同时培养学生的创造性思维能力。针对学生基础、理解能力等掌握数学知识能力的差异性和人们的认识规律,分层配备例题和习题,例题难度逐步递进,习题分为基本题、提高题和应用题(或应用案例)三类。